Bestimmung der Elementarladung nach Millikan

Elektrische Ladungen treten als ganzzahlige vielfache der Elementarladung e auf. Diese Elementarladung konnte Millikan durch seinen Versuch recht genau bestimmen. Zerstäubt man Öl in kleine Tröpfchen, so kommt es zu schwacher Ladungstrennung und Ladung der Tröpfchen. Die gemessenen Ladungen müssen ein ganzzahliges vielfaches der Elementarladung sein. Zur Bestimmung von der Ladung werden zerstäubte Tröpfchen in einen Kondensator gegeben und von hinten bestrahlt mit einem Mikroskop betrachtet.

Schwebefeldmethode

Wenn man die Tröpfchen durch Anlegen einer Spannung zum Schweben bringt, muss die durch die Spannung wirkende elektrische Kraft der Gewichtsanziehungskraft entsprechen.

Fe=Fg

QE=mg

E=Ud

QUd=mg

Q=mgdU

m kann auch über das Volumen und die Dichte ausgedrückt werden. Bei den
Tröpfchen handelt es sich um Kugeln.

V=43πr3

ρ=mV

m=ρ43πr3

Daher ergibt sich für Q:

Q=4r3πpgd3U

Probleme bei dieser Methode

  1. Der Schwebefall ist durch auftretende leichte Luftströme und die Brownsche Molekularbewegung schwer einzustellen.
  2. Der Radius der Tröpfchen lässt sich aufgrund von Beugungserscheinungen nicht genau feststellen (diese scheinen größer).

Ladungsbestimmung bei Bewegung im Kondensatorfeld

Bei der Ladungsbestimmung durch Bewegung werden die Tropfen zwischen zwei Messmarken durch Umpolung der Spannung hin und her bewegt. Insgesamt treten hierbei drei Kräfte auf:

  1. In der Luft tritt eine Reibungskraft nach dem Stokesschen Gesetz auf Fr=6πηrv. Hierbei ist η die Zähigkeit des Mediums (kgms).
  2. Die Gewichtskraft Fg=mg
  3. Die elektrische Kraft Fel=QE

Beim Steigen und Sinken kommt es nach kurzem zu einem Kräftegleichgewicht und einer Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.

Beim Steigen gilt im Kräftegleichgewicht:

Fel=Fg+Fr

QE=mg+6πηrv1

Beim Sinken gilt im Kräftegleichgewicht:

Fr=Fg+Fel

6πηrv2=mg+QE

Die Sink- und die Steiggeschwindigkeit können gemessen werden.

Nach Q aufgelöst ergibt sich für r:

mg+6πηrv1E=6πηrv2mgE

mg+6πηrv1=6πηrv2mg

2mg+6πηrv1=6πηrv2

2mg=6πηrv26πηrv1

mg=3πηr(v2v1)

Für m wird m=ρ43πr3 eingesetzt

4ρr2g=9η(v2v1)

r2=9η(v2v1)4ρg

r=32ηρg(v2v1)

Nach mg aufgelöst ergibt sich:

2QE=6πηr(v2+v1)

Die Lösung für r wird eingesetzt:

2QE=6πη32ηρg(v2v1)(v2+v1)

Es gilt: E=Ud

2QU=9dπηηρg(v2v1)(v2+v1)

Q=9dπ2Uη3ρg(v2v1)(v2+v1)

Die Wurzel wurde aus ästhetischen Gründen aufgeteilt.

Methode mit Sinken ohne Feld

Beim Sinken ohne zusätzliches E-Feld müssen sich nach kurzer Zeit die Gewichtskraft und die geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft nach dem Stokesschen Gesetz entsprechen.

Fg=Fr

mg=6πηrv2

m=Vρ

Es wird angenommen, dass die Tröpfchen Kugeln mit dem Radius r sind.

V=43πr3

m=43πr3ρ

43πr3ρg=6πηrv2

r=9ηv22ρg

Dieses Ergebnis für den Radius wird in die Gleichung für das Steigen mit
E-Feld eingesetzt.

Fel=Fg+Fr

QE=mg+6πηrv1

Für m wird erneut
m=43πr3ρ eingesetzt.

QE=43πr3ρg+6πηrv1

Nun wird r zum einfachen Einsetzen und Ausrechnen ausgeklammert.

QE=r(43πr2ρg+6πηv1)

Daraufhin wird der Zusammenhang für r eingesetzt.

QE=9ηv22ρg(43π9ηv22ρgρg+6πηv1)

QE=9ηv2ρg(6πηv2+6πηv1)

QE=9ηv22ρg6πη(v2+v1)

E=Ud

Q=6πηdU9ηv22ρg(v2+v1)

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