Compton-Effekt

Der Compton-Effekt beschreibt die Vergrößerung der Wellenlänge eines Photons bei der Streuung an einem Teilchen (z. B. Elektron). Wie der Photoeffekt unterstreicht der Compton-Effekt die Teilcheneigenschaften des Lichts, denn nach der klassischen Wellentheorie müsste die Welle durch ihr elektromagnetisches Feld Elektronenschwingungen auslösen, welche wiederum für eine Welle gleicher Frequenz sorgen müssten.

undefined

Quelle: EoDCompton scattering-deCC BY-SA 3.0

Bei dem vollelastischen[1] Zusammenstoß verliert das Photon an Energie, die Wellenlänge wird je nach Winkel um Δλ vergrößert. Für Δλ gilt:

Δλ=hmc(1cos(φ))

m ist hierbei die Masse des Teilchens, auf welches das Photon trifft.

Erklärung zur Grafik

Der Strich in der Mitte symbolisiert den Impulspfeil des Photons, welcher über seine Länge den Impuls dieses vor dem Zusammenstoß und über die Richtung die Richtung des vorherigen Impulses (entlang der normalen Flugbahn) veranschaulicht. Die nach dem Zusammenstoß bestehenden Impulspfeile müssen zusammen wieder dem mittleren entsprechen (analog zum Kräfteparallelogramm).

Aufgrund der geringen Größe der Wellenlängendifferenz macht sich der Effekt besonders bei kurzwelliger elektromagnetischer Strahlung (z. B. Röntgen bemerkbar) und ist zum Beispiel bei sichtbarem Licht zu gering, um wahrgenommen zu werden.

Comptons Versuch

undefined

Quelle

Über den Drehkristall kann eine Intensitätsverteilung über die Wellenlänge aufgenommen werden. Bei weiter innen im Atom liegenden Elektronen kann aufgrund der starken Bindung dieser fast keine Energie beim Stoß abgegeben werden, die ursprüngliche Wellenlänge bleibt bei diesen Zusammenstößen so gut wie erhalten. So ergibt sich folgenden Intensitätsverteilung:

undefined

Quelle

Δλ ist hierbei vom Material des Streukörpers unabhängig, da es immer zu dem Stoß mit fast freien Elektronen kommt. Je höher die Ordnungszahl, desto mehr Elektronen sind fest gebunden und desto höher ist der Anteil der verlustfrei reflektierten Strahlung. Mit steigendem ϑ steigt auch Δλ.

Zusammenfassung der Beobachtungen

  1. In der Streustrahlung tritt neben λ die größere Wellenlänge λ+Δλ auf.
  2. Δλ steigt mit zunehmendem Streuwinkel ϑ
  3. Mit zunehmendem ϑ nimmt die Intensität der langwelligeren Streustrahlung auf Kosten der kurzwelligeren ab.
  4. Je Höher die Ordnungszahl des Elements, desto geringer der Anteil der Streustrahlung mit längerer Wellenlänge.
  5. Δλ ist materialunabhängig

Herleitung

Im Folgenden wird von einem ruhenden freien Elektron ausgegangen. Ziel ist, die durch den Compton-Effekt verursachte Wellenlängenverschiebung zu bestimmen.

Energien und Impulse der Teilchen beim Compton-Effekt

Energie des Elektrons vorher

Energie des Photons vorher

Impuls des Photons vorher

Impuls des Elektrons vorher

Ee=m0c2 Ep=hf pp=hfc pe=0

Energie des Elektrons nachher

Energie des Photons nachher

Impuls des Photons nachher

Impuls des Elektrons nachher

Ee Ep=hf´ pp=hf´c pe

Benötigte Zusammenhänge

Energie- und Impulserhaltungssatz

Es handelt sich um einen elastischen Stoß, der Energie- und Impulserhaltungssatz müssen erfüllt sein.

Energieerhaltungssatz

Impulserhaltungssatz

Ee+Ep=Ee+Ep pp+pe=pp+pe

Hierüber kann ein Zusammenhang für Ee aufgestellt werden.

Ee=EpEp+Ee=hfhf´+m0c2

Relativistische Energie-Impuls-Beziehung

Auch gilt die relativistische Energie-Impuls-Beziehung.

Relativistische Energie-Impuls-Beziehung

Übertragen auf das freie Elektron

 

E2=E02+(cp)2

E02=E2(cp)2

 

Ee2=Ee2pe2c2

 Für die Herleitung siehe Energie-Impuls-Beziehung.

Kosinussatz

Allgemein

undefined

Quelle: Petr K,Triangle - angles, vertices, sides,CC BY-SA 3.0

c2=a2+b22abcos(γ)

Übertragen auf den Compton-Effekt

undefined

Quelle

pγ in der Grafik entspricht pp in den Gleichungen.

pe2=pp2+pp22ppppcos(ϑ)

Verbinden der Zusammenhänge

Folgende ermittelte Zusammenhänge werden benötigt:

Zusammenhang aus der Energie- und Impulserhaltung (1)

Zusammenhang aus der Energie-Impuls-Beziehung (2)

Zusammenhang aus dem Kosinussatz (3)

Ee=hfhf´+m0c2 Ee2=Ee2pe2c2 pe2=pp2+pp22ppppcos(ϑ)

1 und 3 werden in 2 eingesetzt.

Ee2=(h(ff´)+m0c2)2(pp2+pp22ppppcos(ϑ))c2

Zusätzlich werden die Zusammenhänge für die Impulse aus der Tabelle eingesetzt.

Ee2=(h(ff´)+m0c2)2((hf)2c2+(hf´)2c22h2ff´c2cos(ϑ))c2

Nun wird ausmultipliziert und aufgelöst.

Ee2=(h(ff´)+m0c2)2((hf)2+(hf´)22h2ff´cos(ϑ))

Ee2=(h(ff´)+m0c2)2(hf)2(hf´)2+2h2ff´cos(ϑ)

Ee2=h2(f22ff´+f´2)+2h(ff´)m0c2+m02c4(hf)2(hf´)2+2h2ff´cos(ϑ)

Ee2=(hf)22h2ff´+(hf´)2+2h(ff´)m0c2+m02c4(hf)2(hf´)2+2h2ff´cos(ϑ)

Ee2=2h2ff´+2h(ff´)m0c2+m02c4+2h2ff´cos(ϑ)

Es gilt:

Ee=m0c2

Hieraus folgt:

0=2h2ff´+2h(ff´)m0c2+2h2ff´cos(ϑ)

0=2hm0c2(ff´)+2h2ff´cos(ϑ)2h2ff´

2h2ff´2h2ff´cos(ϑ)=2hm0c2(ff´)

2h2ff´(1cos(ϑ))=2hm0c2(ff´)

hff´(1cos(ϑ))=m0c2(ff´)

h(1cos(ϑ))=m0c2ff´ff´

ff´ff´=fff´f´ff´=1f´1f

h(1cos(ϑ))=m0c(cf´cf)

Es gilt:

c=λf

λ=cf

(cf´cf)=λ´λ=Δλ

h(1cos(ϑ))=m0cΔλ

Δλ=hm0c(1cos(ϑ))

Energieverteilung der Compton-Elektronen

undefined

[1] Elastisch → keine Energieumwandlung

Empfehlungen
Stefan Zweigs Werke

Anmerkungen oder sonstige Ideen und Vorschläge können Sie gern per Mail an beitragen@lernzettel.org bzw. fehler@lernzettel.org senden.