Gauß-Verfahren

Der Gauß-Algorithmus wird dazu verwendet, lineare Gleichungssysteme zu lösen.

Dies wird anhand eines Beispiels erklärt:

Es sind folgende Gleichungen gegeben:

$$x_{1} - x_{2} + 2x_{3} = 0$$

$$- 2x_{1} + x_{2} - 6x_{3} = 0$$

$$x_{1} - 2x_{3} = 3$$

Nun werden die Gleichungen ohne die Variablen notiert:

$$\left| \begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ - 2 & 1 & - 6 \\ 1 & 0 & - 2 \\ \end{matrix} \right|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \\ \end{matrix}$$

Ziel ist eine stufenförmige Anordnung der Nullen nach diesem oder einem ähnlichen Muster:

$$\left| \begin{matrix} x & x & x \\ 0 & x & x \\ 0 & 0 & x \\ \end{matrix} \right|\begin{matrix} x \\ x \\ x \\ \end{matrix}$$

Hierdurch kann dann von unten aufgelöst werden. Um dies zu erreichen, können mehrere Operationen angewendet werden:

1. Zeilen vertauschen
2. Eine Zeile durch die Summe von ihr und einer anderen Zeile ersetzen
3. Zeilen mit einer Zahl (ungleich 0) multiplizieren 

Für das Beispiel ergibt sich:

• 2. Zeile durch die Summe der ersten und zweiten Zeile ersetzen
• 3. Zeile durch Summe der 3. und 2. Zeile ersetzen

$$\left| \begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ - 2 & 1 & - 6 \\ 1 & 0 & - 2 \\ \end{matrix} \right|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \\ \end{matrix}\ \rightarrow \ \left| \begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 4 \\ 1 & 0 & - 2 \\ \end{matrix} \right|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \\ \end{matrix} \rightarrow \ \left| \begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 4 \\ 0 & 0 & - 6 \\ \end{matrix} \right|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \\ \end{matrix}$$

• Auflösen der letzten Zeile

$${- 6x}_{3} = 3$$

$$x_{3} = - 0,5$$

• Auflösen der zweiten Zeile durch das Ergebnis der 3.

$${- x}_{1} - 4\left( - 0,5 \right) = 0$$

$$x_{1} = 2$$

• 1. Zeile durch die Ergebnisse der 2. und 3.

$$2 - x_{2} + 2\left( - 0,5 \right) = 0$$

$$2 - x_{2} - 1 = 0$$

$$1 - x_{2} = 0$$

$$x_{2} = 1$$