Konfidenzintervalle bestimmen

Ein Konfidenzintervall umschließt zu einer gewissen Wahrscheinlichkeit (Konfidenzniveau) die wahre Lage eines Parameters. So soll zum Beispiel eine Wahrscheinlichkeit zu der Wahrscheinlichkeit des Konfidenzniveaus in einem bestimmten Bereich liegen. Dies bedeutet auf praktischer Ebene: Ich nehme eine Stichprobe und stelle die relative Häufigkeit h einer Zufallsgröße fest. Hierüber kann ich einen Bereich abschätzen, in welchem die Wahrscheinlichkeit zu dem Konfidenzniveau liegen soll.

Der Bereich – geschätzt

Der Bereich, in welchem p liegt kann über eine Formel und die Sigmaregeln geschätzt werden.

Konfidensniveau (ß)	90%	95%	99%
k	1,64	1,96	2,58

$$\left\lbrack h - k\sqrt{\frac{h\left( 1 - h \right)}{n}};h + k\sqrt{\frac{h\left( 1 - h \right)}{n}} \right\rbrack$$

Hierbei ist n der Umfang der Probe und h die relative Häufigkeit, welche sich aus der Probe ergibt.

Der Bereich – über Rechnung

Über eine kleinere Probe lässt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit abschätzen. K ist hierbei die Häufigkeit wie oft das Ereignis eingetreten ist.

Für den einen Wert des P-Intervalls gilt:

$$P\left( X_{\text{Pmax}} \leq k - 1 \right) \geq \frac{(1 - ß)}{2}$$

Für den anderen gilt:

$$P\left( X_{\text{Pmax}} \leq k \right) \leq ß + \frac{(1 - ß)}{2}$$

P wird mit der Formel geschätzt und dann so angepasst, dass die Aussagen zutreffen und das p-Intervall so genau / groß wie möglich (in den durch das Konfidenzintervall gegebenen Grenzen) ist. Es wird auf die vierte Nachkommastelle gerundet. Die Gleichheit soll möglichst gut erreicht werden.

Die Wahrscheinlichkeiten werden als Binomialwahrscheinlichkeiten berechnet:

$$P\left( X \leq k \right) = \sum_{0}^{k}{(\begin{matrix} n \\ k \\ \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}}$$

Um dies schneller zu erreichen, kann der Taschenrechner verwendet werden:

Mode → 7 → nach unten navigieren → 1 → 1

Für ein Signifikanzniveau von 5% gilt nach den Regeln:

$$P\left( X_{\text{Pmax}} \leq k - 1 \right) \geq 0,025$$

$$P\left( X_{\text{Pmax}} \leq k \right) \leq 0,975$$

→ Runden auf 4. Nachkommastelle (beziehungsweise 2. bei Prozent)