Orbitalmodell und eindimensionaler Potentialtopf

Orbitalmodell

In diesem Modell steht der Wellencharakter der Elektronen im Vordergrund. Im Sinne von Borns Deutung verhalten sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der Elektronen entsprechend ihrer im Atom stehenden, räumlichen De-Broglie-Wellen. Der durch die stehende Welle erfasste Raum bildet ein Orbital, wobei den verschiedenen Energieniveaus im Atom verschiedene Orbitale entsprechen.

Setzt man die potentielle Energie des Proton-Elektron-Systems in die Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom ein, so ergeben sich die gleichen Energieniveaus wie bei Bohr.

$$E_{n} = - \frac{1}{8} \cdot \frac{m_{e} \cdot e^{4}}{\varepsilon_{0}^{2} \cdot h^{2}{\cdot n}^{2}}$$

Auch das zweite Bohr-Postulat folgt aus der Wellenmechanik.

Die stehende Welle – räumlich durch die zwischen Kern und Elektron wirkenden Kräfte begrenzt – kann mit Hilfe des Potentialtopfs veranschaulicht werden.

Eindimensionaler Potentialtopf

Der eindimensionale Potentialtopf veranschaulicht, wie durch stehende Wellen in einem räumlich begrenzten Bereich diskrete Energieniveaus entstehen. Hierzu wird ein Elektron gedanklich in einen eindimensionalen Topf gesetzt, in welchem die potentielle Energie im Inneren gleich 0 ist, an den Wänden aber ins unendliche Steigt, sodass das Elektron eingesperrt ist.

So ergibt sich das Bild eines Topfes, an dessen Wänden die Aufenthaltswahrscheinlichkeit gleich 0 ist

Energiewerte des Elektrons im Eindimensionalen Potentialtopf

Dem sich hin und her bewegenden Elektron wird eine De-Broglie-Welle zugeordnet, welche wie das Elektron an den Wänden reflektiert wird. Da die Aufenthaltswahrscheinlichkeit an den Wänden 0 ist, befinden sich hier Knoten, es ist eine stehende Welle. Die Knoten legen die Welle insofern fest, als dass zwischen ihnen nur eine Vielzahl an halben Wellenlängen liegen kann. Hieraus folgt:

$$n \cdot \frac{\lambda_{n}}{2} = l$$

$$\lambda_{n} = \frac{2l}{n}$$

l ist die Länge des Topfes. Hierdurch wird auch der Impuls festgelegt:

$$p_{n} = \frac{h}{\lambda_{n}} = \frac{\text{nh}}{2l}$$

Hierüber lässt sich die Energie bestimmen:

$$E_{n} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2} = \frac{1}{2m}\left( \text{mv} \right)^{2} = \frac{1}{2m} \cdot p_{n}^{2} = \frac{1}{2m} \cdot \frac{n^{2} \cdot h^{2}}{4l^{2}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{h^{2}}{ml^{2}} \cdot n^{2}$$

Im tatsächlichen Atom geschieht die räumliche Einschränkung durch die Anziehungskraft des positiv geladenen Kerns. Durch die Differentialgleichung für die Zustandsfunktion $\psi$ des Elektrons -- die Schrödinger-Gleichung -- ergeben sich die möglichen stehenden De-Broglie-Wellen um den Kern, die Energieniveaus und die Orbitale.

Aufenthaltswahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ergibt sich aus ${\psi_{n}(x)}^{2}$, wobei $\psi_{n}(x)$ die Eigenfunktionen der Zustandsfunktion sind. Anders als bei einem klassischen Teilchen ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit also nicht überall gleich (ein klassisches Teilchen würde sich von Wand zu Wand bewegen). Ort und Impuls des Teilchens sind unscharf. Über die Bedingung zur Energie ergibt sich auch, dass diese anders als nach klassischer Vorstellung nie 0 ergibt, ($n = 1$) ist das kleinste Energieniveau, die \textbf{Nullpunktsenergie} ist ≠ 0.