Schnittwinkel in der analytischen Geometrie

Schnittwinkel zweier Geraden

Wiederholung der Gerade-Gerade Lagebeziehungen
  1. Identisch → Richtungsvektoren vielfache && erfüllte Punktprobe für alle Punkte
  2. Parallel → nur Richtungsvektoren vielfache
  3. Schnittpunkt → Gleichsetzen, Auflösen, Schnittpunkt ermittelbar, nicht gleich
  4. Windschief → kein Schnittpunkt, nicht parallel

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Quelle: Serlo

Hierbei sind u und v die Richtungsvektoren der Geraden.

Dies lässt sich vereinfacht aus der Definition des Skalarprodukts herleiten:

Das Skalarprodukt uv ist definiert als:
uv=|u||v|cos(α)

Schnittwinkel zwischen Ebene und Gerade

Schneidet eine Gerade eine Ebene in einem Schnittpunkt (siehe: Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen), so lässt sich auch hier der Schnittwinkel berechnen.

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Quelle: Serlo

sin(α)=|nu||n||u|

Hierbei ist n der Normalenvektor der Ebene und u der Richtungsvektor der Gerade.

Herleitung: Der Schnittwinkel zwischen der Ebene und der Gerade ist 90° minus der Schnittwinkel aus Normale der Ebene und Gerade. Daher gilt nach der obigen Herleitung:
cos(90α)=|nu||n||u|,
beziehungsweise
sin(α)=|nu||n||u|.

Schnittwinkel zweier Ebenen

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Quelle: Serlo

Ebenen können sich in einer Schnittgeraden schneiden. Da die Normalen einen festen Winkel zu ihrer Ebene besitzen (90°), entspricht ihr Schnittwinkel (der der Normalen der Ebenen) dem der Ebenen. Somit gilt:
cos(α)=|nm||n||m|,
wobei n und m die Normalenvektoren der Ebenen sind.

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