Ebenen - Gleichungsformen, Umwandlungen, Spurgeraden und Punke

Die Ebene ist ein unbegrenzt ausgedehntes zweidimensionales Objekt.

Parametergleichung

Die Ebene kann durch die Parametergleichung ausgedrückt werden, welche diese Form besitzt:

$$E:\overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + r \cdot \overrightarrow{u} + s \cdot \overrightarrow{v}$$

$$\overrightarrow{p} = Stützvektor$$

$$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v} = Spannvektoren$$

Erstellen aus drei Punkten

Einer der Punkte wird als Stützvektor genommen, die Spannvektoren sind die Vektoren, welche vom Stützvektor aus zu jeweils einem anderen Punkten führen.

Erstellen aus einer Gerade und einem Punkt

Der Punkt darf nicht auf der Geraden liegen, der Stützvektor und der Richtungsvektor als ein Spannvektor werden übernommen, der zweite Spannvektor ist der vom Stützvektor zum Punkt führende Vektor.

Punktprobe

Gleichsetzten des Punktes mit der Ebenengleichung und auflösen.

Normalenform

$$\left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right) \cdot \overrightarrow{n} = 0$$

$$\overrightarrow{p} = Stützvektor\ (Punkt\ auf\ der\ Ebene)$$

$$\overrightarrow{n} = Senkrecht\ zur\ Ebene\ stehender\ Normalenvektor$$

$$\overrightarrow{x} = Punkt\ auf\ der\ Ebene,\ falls\ die\ Bedingung\ erfüllt\ ist$$

Lizenzhinweis: Quartl, Plane equation qtl3, CC BY-SA 3.0

Berechnung aus der Parameterform

$$\overrightarrow{p} = \overrightarrow{p}$$

$$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$$

Koordinatenform

Die Ebene kann durch vier reelle Zahlen beschrieben werden.

$$ax_{1} + bx_{2} + cx_{3} = d$$

Diese Form ist die ausmultiplizierte Normalenform.

$$a = n_{1}$$

$$b = n_{2}$$

$$c = n_{3}$$

$$d = \overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{n}$$

Spurpunkte

Die Spurpunkte sind solche Punkte, an welchen die Ebene eine Achse schneidet. Hier ist der Wert aller Koordinaten, außer der der Achse, welche geschnitten wird, gleich 0. Für die -Achse setzt man so  und  gleich 0 und berechnet den Wert für . So ergeben sich maximal drei Spurpunkte. Fehlt ein Spurpunkt, so herrscht Parallelität zu dieser Achse.

Spurgeraden

Die Spurpunkte werden von den Spurgeraden verbunden. Diese sind die Schnittgeraden einer Ebene mit einer Grundebene des räumlichen Koordinatensystems.

Lizenzhinweis: Honina, Spurgeraden und Punkte, CC BY-SA 3.0

Von der Koordinatenform zur Parameterform

Aus den Spurpunkten kann die Parameterform erstellt werden.

Von der Koordinatenform zur Normalenform

Über a, b und c kann der Normalenvektor bestimmt werden. Zur Bestimmung eines Stützvektors werden zwei Komponente des -Vektors beliebig festgelegt und die dritte durch Einsetzten bestimmt.