Gegenseitige Lage von Ebenen

Für zwei Ebenen gibt es drei mögliche Lagebeziehungen:

1. Sie sind identisch
2. Sie sind parallel
3. Sie schneiden sich in einer Schnittgerade

Um festzustellen, welche Lagebeziehung vorliegt, gibt es mehrere Verfahren.

Beide Ebenen liegen in der Koordinaten- oder Normalenform vor

1. Sind die Normalenvektoren parallel, sind die Ebenen entweder parallel oder identisch.

Gegeben sind $E:2x_{1} + 3x_{2} - x_{3} = 5$ und $F:4x_{1} + 6x_{2} - 2x_{3} = 3$. Folglich sind die Normalenvektoren $\overrightarrow{\text{NE}} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \\ \end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{\text{NF}} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ - 2 \\ \end{pmatrix}$. Die Normalenvektoren sind vielfach voneinander, sie sind parallel.

2. Um zu prüfen, ob die Ebenen identisch sind, wird ein beliebiger Punkt aus der einen in die andere Ebene eingesetzt (identische Ebenen teilen alle Punkte). Um einen beliebigen Punkt zu erhalten, werden in der Koordinatenform x1 und x2 beliebig gesetzt und x3 berechnet.

$$2x_{1} + 3x_{2} - x_{3} = 5$$

$$x_{1} = 0;\ x_{2} = 0;x_{3} = - 5$$

Eingesetzt in F: $10 \neq 3$. Die Ebenen sind parallel und nicht identisch.

3. Sind die Normalenvektoren nicht parallel, gibt es eine Schnittgerade. Diese kann wie folgt berechnet werden.

a. Stufensystem aufstellen

$$2x_{1} + 3x_{2} - x_{3} = 5\ $$

$$- 5x_{1} + 10x_{2} - x_{3} = 5$$

Ich ersetze die 2. Zeile durch die Summe von ihr und der ersten Zeile Mal -1.

$$2x_{1} + 3x_{2} - x_{3} = 5\ $$

$$- 7x_{1} + 7x_{2} = 0$$

b. Eine Variable, welche in beiden Gleichungen vorkommt, gleich t setzen und zu den Variablen auflösen

$$x_{1} = t$$

$$x_{2} = t$$

$${- x}_{3} = 5 - 2t - 3t$$

$${- x}_{3} = 5 - 5t$$

$$x_{3} = - 5 + 5t$$

c. In Geradengleichung umstellen

$$g:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ - 5 \\ \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \\ \end{pmatrix}$$

Eine Ebene liegt in der Parametergleichung, die andere in der Koordinatengleichung vor

Gegeben sind $E:2x_{1} + 3x_{2} - x_{3} = 5\ $ und $F:\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \\ \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} - 1 \\ 0 \\ 5 \\ \end{pmatrix}$.

Jede der Zeilen in der Parametergleichung steht für eine Komponente des Vektors x. Die erste Zeile steht für x1 usw.. 

1. Die Zeilen der Parametergleichung werden in die Koordinatengleichung eingesetzt

$$2\left( 1 + 2r - s \right) + 3\left( 1 + r \right) - 5 - 5s = 5\ $$

Beim Auflösen können drei Möglichkeiten auftreten:

a. Eine wahre Aussage ergibt sich (z. B. 4=4) → identisch

b. Eine falsche Aussage ergibt sich (z. B. 1=5) → parallel

c. r &/ s bleiben bestehen → Schnittgerade

$$2 + 4r - 2s + 3 + 3r - 5 - 5s = 5$$

$$7r - 7s = 5$$

$$7r = 5 + 7s$$

$$r = \frac{5}{7} + s$$

Fall 3. ist hier eingetreten.

2. Das Ergebnis wird beim 3. Fall in die Parametergleichung eingesetzt, um die Gleichung der Schnittgerade herauszufinden.

$$G:\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \\ \end{pmatrix} + \left( \frac{5}{7} + s \right)\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} - 1 \\ 0 \\ 5 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + \frac{10}{7} \\ 1 + \frac{5}{7} \\ 5 \\ \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \\ \end{pmatrix}$$

Beide Ebenen liegen in Parameterform vor

Zwei Ebenen in Parameterform sind gegeben. Ziel ist, für eine der beiden Ebenen einen der Vorfaktoren in Abhängigkeit des anderen auszudrücken.

$$E:\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 2 \\ \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} - 4 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ - 1 \\ \end{pmatrix}$$

$$F:\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} - 3 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} + u\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$$

Für das Beispiel bedeutet dies, dass eine Relation zwischen r und s oder u und t gesucht ist.

1. Ein lineares Gleichungssystem wird hierzu aufgestellt, wobei darauf zu achten ist, nicht die gleichen Symbole für den Vorfaktor der Spannvektoren zu nehmen (nicht zweimal r/s)

a. Die Ebenen in Parameterform werden gleichgesetzt

$$\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 2 \\ \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} - 4 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ - 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} - 3 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} + u\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$$

b. Die Gleichungen werden so umgestellt, dass die Vektoren ohne Variable auf der einen und die mit auf der anderen Seite stehen

$$\begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = t\begin{pmatrix} - 3 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} + u\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \\ \end{pmatrix} - r\begin{pmatrix} - 4 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} - s\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ - 1 \\ \end{pmatrix}$$

c. Ein LGS nach dem Gauß-Verfahren wird aufgestellt und in eine Stufenform gelöst

$$\left| \begin{matrix} t & u & r & s \\ - 3 & 1 & 4 & - 5 \\ 0 & 4 & - 1 & 0 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 \\ \end{matrix} \right|\begin{matrix} = \\ 7 \\ 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \rightarrow \left| \begin{matrix} t & u & r & s \\ - 3 & 1 & 4 & - 5 \\ 0 & 4 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & - 2 \\ \end{matrix} \right|\begin{matrix} = \\ 7 \\ 0 \\ 10 \\ \end{matrix}\ $$

d. Die letzte Zeile wird herausgeschrieben

$$2r - 2s = 10$$

$$r = 5 + s$$

In der letzten Zeile können drei Fälle auftreten

1. Eine wahre Aussage ergibt sich ((alle Variablen fallen weg)0=0) → identisch
2. Es gibt keine Lösung ((alle Variablen fallen weg)→ 0=7) → parallel
3. Zwei Variablen lassen sich in Abhängigkeit zueinander stellen → Schnittgerade

2. Tritt der dritte Fall ein, kann eine Schnittgerade berechnet werden. Hierfür wird das Ergebnis so eingesetzt, dass in der gewählten vorherigen Ebenengleichung nur eine Variable übrigbleibt.

$$G:\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 2 \\ \end{pmatrix} + \left( 5 + s \right)\begin{pmatrix} - 4 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ - 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 12 \\ 5 \\ 7 \\ \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}$$