Hypergeometrische Verteilung

Eine hypergeometrische Verteilung ähnelt der Binomialverteilung, wobei das Ziehen ohne Zurücklegen stattfindet.

Beispiel:

Von 50 Autoteilen sind 10% defekt. 8 Teile werden entnommen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3 hiervon defekt sind.

Dadurch, dass nicht zurückgelegt wird, ändert sich die Wahrscheinlichkeit. Es braucht die hypergeometrische Verteilung. Die Wahrscheinlichkeit ist der Anteil der Anzahl an Möglichkeiten, 5 aus den 45 guten Teilen und 3 aus den 5 schlechten Teilen zu ziehen an der Anzahl an Gesamtmöglichkeiten, 8 aus 50 zu ziehen.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 5 aus den guten und 3 aus den schlechten Teilen zu ziehen?

(455)(53)

Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, 8 aus 50 Teilen zu ziehen?

(508)

Da es sich um Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge handelt, wird jeweils der Binomialkoeffizient genutzt.

Insgesamt ergibt sich:

P(X=3)=(455)(53)(508)=0,0227

Allgemeine Formel

K=Anzahl der Objekte mit Merkmalsausprägung

k=Anzahl der gezogenen Objekte mit Merkmalsausprägung

N=Anzahl der Objekte

n=Anzahl der gezogenen Objekte

P(x=k)=(Kk)(NKnk)(Nn)

Anders als bei der Binomialverteilung sind die Wahrscheinlichkeiten für jeden Zug nicht unabhängig voneinander. Hier geht es meist um einen gezogenen Bereich aus einer Gesamtmenge.

Erwartungswert

μ=np=nKN

Varianz

Var(X)=nKN(1KN)NnN1

Maß für die Streuung um den Erwartungswert (→ Standardabweichung).

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