Integral und Flächeninhalt

Unter der x-Achse liegende Flächen

Liegt die Fläche unter der x-Achse, so ist das Integral negativ (in diesem Bereich nimmt der Wert der Stammfunktion ab). Da eine Fläche nicht negativ sein kann, wird der Betrag des Integrals verwendet.

 

$$A = \left| \int_{a}^{b}{({- x}^{2}})dx \right|$$

Liegt ein Teil der Fläche über und ein Teil unter der x-Achse, so müssen beide Teilflächen einzeln berechnet und summiert werden.

Zwischen zwei Graphen liegende Fläche

1. Falls die Fläche die x-Achse überschreitet, müssen beide Graphen so entlang der y-Achse verschoben werden (+/-d), sodass dies nicht mehr der Fall ist.
2. Die Fläche wird berechnet, indem von der Fläche des Graphen mit der größeren Fläche die des Graphen mit der kleineren Fläche abgezogen wird.

$$A = \int_{a}^{b}{f\left( x \right)dx -}\int_{a}^{b}{g\left( x \right)dx = \int_{a}^{b}{f\left( x \right) - g(x))dx}}$$

Bei Flächen unterhalb der x-Achse muss der Betrag verwendet werden.

Zu beachten ist, dass durch das Integral der orientierte Flächeninhalt zwischen Graph und Achse berechnet wird.