Integral und Rauminhalt

Wird ein Graph um die x-Achse rotiert, so erhält man einen Rotationskörper. Das Volumen des entstehenden Körpers kann (Analog zu den Rechtecken bei der Fläche) durch Zylinder berechnet werden.

$$V = \pi{(f(x_{1}))}^{2} \times \mathrm{\Delta}x + \pi{(f(x_{2}))}^{2} \times \mathrm{\Delta}x\ldots. = \int_{a}^{b}{\pi \times {f(x)}^{2}\text{dx}} = \pi\int_{a}^{b}{{f(x)}^{2}\text{dx}}$$

Rotationskörper durch die Rotation einer Fläche zwischen zwei Funktionen

Wird eine Fläche zwischen zwei Funktionen rotiert, so muss aufgrund der Rolle des Umfangs (weiter außen liegende Fläche → mehr Volumen bei Rotation) erst das Volumen des Rotationskörpers der höher liegenden Funktion berechnet werden, von welchem dann das Volumen des Rotationskörpers der anderen Funktion abgezogen wird.

$$V = \pi\int_{a}^{b}{{f(x)}^{2}\text{dx}} - \pi\int_{a}^{b}{{g(x)}^{2}dx = \pi\int_{a}^{b}{({f(x)}^{2} - {g\left( x \right)}^{2})dx}}$$