Integrale

Geht man von einer stetigen Funktion F aus, so zeigt die Ableitung  f an jeder Stelle die Steigung der ursprünglichen Funktion. Hieraus folgt, dass die Fläche, welche der Graph von f mit der x-Achse in einem Intervall aufspannt, dem Höhenunterschied von F in diesem Intervall entspricht.

Beispiel:

Ein Läufer läuft 10 Stunden mit 5 km/h. Für den Graphen der Strecke ergibt sich folgendes:

Nach 10 Stunden wurden 50km erreicht. Die Ableitung der Funktion des Weges ist die Geschwindigkeit, welche Konstant bei 5km/h liegt. Die von dem Graphen der Geschwindigkeit aufgespannte Fläche ist $5\frac{\text{km}}{h} \times 10h = 50km$ und somit dem Höhenunterschied in dem Graphen des Weges entsprechend.

Diese Eigenschaft kann man sich zu Nutzen machen, um die von einem Graphen in einem Intervall aufgespannte Fläche zu bestimmen.

Die Fläche kann auch berechnet werden, indem in die Fläche Rechtecke mit einer Breite gegen 0 platziert werden, und deren Flächen summiert werden.

$$A = \mathrm{\Delta}x \times f\left( x_{0} \right) + \mathrm{\Delta}x \times f\left( x_{1} \right) + \ldots|\ \mathrm{\Delta}x \rightarrow 0$$

Um dies auszudrücken, wird folgende Schreibweise des Integrals verwendet:

$$\int_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{dx}}$$

Aus der Einleitung folgt, dass

$$\int_{a}^{b}{f\left( x \right)dx = \left\lbrack F(x) \right\rbrack\begin{matrix} b \\ a \\ \end{matrix} = F\left( b \right) - F(a)}$$

Wobei der berechnete Flächeninhalt der orientierte Flächeninhalt ist. Dies bedeutet, dass Flächen unter der x-Achse im Integral von der Gesamtfläche abgezogen werden.

Aus der Formel ergibt sich, dass es zur Berechnung des Flächeninhaltes eine Stammfunktion F braucht, zu welcher f eine mögliche Ableitung ist.

Finden einer Stammfunktion

Die Stammfunktion muss so ermittelt werden, dass ihre Ableitung der ursprünglichen Funktion entspricht. Daher lassen sich die Regeln zum ,,Aufleiten“ an Hand derer zum Ableiten finden.

Für die Ableitung der Funktion $F\left( x \right) = x^{a}$ gilt:

$$f\left( x \right) = a \cdot x^{a - 1}$$

Hieraus folgt umgekehrt, wenn $f\left( x \right) = x^{a}$ ist, dass

$$F\left( x \right) = \frac{1}{a + 1} \cdot x^{a + 1}$$

Bei Stammfunktion zu Summen von Funktionen, wird für jeden Summanden die Stammfunktion gesucht.

Für Lineare Verkettungen ($F\left( h\left( x \right) \right)$) gilt bei der Ableitung:

$$f\left( h\left( x \right) \right) \cdot h´(x)$$

Dementsprechend gilt bei der ,,Aufleitung“ von $f(h\left( x \right))$:

$$F(h\left( x \right)) \cdot \frac{1}{h´(x)}$$

Also bei dem Beispiel $f\left( x \right) = {(2x + 3)}^{2}$:

$$\frac{1}{3}{(2x + 3)}^{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}{(2x + 3)}^{3}$$

Da alleinstehende Zahlen bei der Ableitung wegfallen, gibt es unendlich viele ,,Aufleitungen“ (+c). Durch die Subtraktion in $F\left( b \right) - F(a)$ fällt das +c allerdings weg.

Hinweis: Die ,,Aufleitung“ von $x^{- 1}$ ist $ln(x)$.