Integration durch Substitution

$$\int_{a}^{b}{f\left( g(x) \right) \times g`(x)dx} = \int_{g(a)}^{g(b)}{f\left( z \right)\text{dz}}$$

Um die erste Form zu erhalten, muss teilweise ergänzt werden. Die einfachste Methode ist, Brüche falls vorhanden umzuschreiben und dann die benötigte Zahl sowie ihren Kehrwert als Multiplikation in das Integral zu ziehen und den nicht benötigten Faktor vor das Integral zu holen.

Beispiel:

$$\int_{0}^{2}{\frac{4x}{\sqrt{1 + {2x}^{2}}} = \int_{0}^{2}{4x \times \left( 1 + {2x}^{2} \right)^{- \frac{1}{2}}}}$$

$$f\left( x \right) = x^{- \frac{1}{2}}$$

$$g\left( x \right) = 1 + {2x}^{2}$$

$$g\left( 0 \right) = 1$$

$$g\left( 2 \right) = 9$$

$$\int_{0}^{2}{4x \times \left( 1 + {2x}^{2} \right)^{- \frac{1}{2}}}dx = \int_{1}^{9}z^{- \frac{1}{2}}\text{dz}$$

$$f\left( z \right) = z^{- \frac{1}{2}}$$

$$F\left( z \right) = 2z^{\frac{1}{2}}$$

$$\int_{1}^{9}z^{- \frac{1}{2}}dz = 2 \times 3 - 2 \times 1 = 4$$

Herleitung

Aus der Form $\int_{a}^{b}{f\left( g(x) \right) \times g`(x)dx}$ wird wegen der Kettenregel ersichtlich, dass $F(g\left( x \right))$ die Stammfunktion dieser Funktion ist. Denn nach der Kettenregel ist die Ableitung von $F(g\left( x \right))$ $f\left( g(x) \right) \times g`(x)$. Daraus ergibt sich:

$$\int_{a}^{b}{f\left( g(x) \right) \times g`(x)dx} = \left\lbrack F(g\left( x \right)) \right\rbrack\begin{matrix} b \\ a \\ \end{matrix} = \int_{g(a)}^{g(b)}{f\left( z \right)\text{dz}}$$