Kurvendiskussion

Definitionsbereich bestimmen

Der maximale Definitionsbereich wird gesucht, also der Bereich, in welchem die Funktion berechnet werden kann.

Folgende Definitionsbereiche sind möglich:

$$N = \left\{ 0,1,2,3... \right\}\ (natürliche\ Zahlen)$$

$$Z = \left\{ ... - 3, - 2, - 1,0,1,2,3... \right\}\ (ganze\ Zahlen)$$

$$Q = \{ mn\ |\ m,\ n \in Z,n \neq 0\}(rationale\ Zahlen)$$

$$R(alle\ reellen\ Zahlen\ (alles\ bis\ auf\ imaginäre\ Zahlen))$$

Der Definitionsbereich lässt sich folgendermaßen einschränken:

$$R^{+}(nur\ positive\ Zahlen)$$

$$R^{-}(nur\ negative\ \ Zahlen)$$

$$R_{0}^{+}\ (nur\ positive\ Zahlen\ und\ die\ 0)$$

$$R\backslash\{ 0;2\}(reelle\ Zahlen\ bis\ auf\ 0\ und\ 2)$$

Beispiel:

$$f(x) = \frac{1}{x}$$

Da 0 nicht im Nenner stehen darf, gilt: $D = R\backslash\{ 0\}$

Nullstellen bestimmen

Bei linearen Funktionen wird die Funktion gleich 0 gesetzt und dann zu x umgestellt. Bei Quadratischen Funktionen nutzt man die Mitternachtsformel (siehe AB). Insgesamt gilt, dass der Term gleich null ist, wenn einer der Faktoren oder der Zähler null ist.

Symmetrie bestimmen

Punktsymmetrie zum Ursprung

Es gilt: $f( - x) = - f(x)$, also wenn alle Exponenten ungerade sind.

Achsensymmetrie zur y-Achse

Es gilt: $f( - x) = f(x)$, also wenn alle Exponenten gerade sind.

Schnittstellen mit der y-Achse

Für x wird 0 eingesetzt, mögliche Schnittpunkte werden berechnet.

Da die Definitionsmenge des natürlichen Logarithmus $D = \rbrack 0;\infty\lbrack$ ist, ist die Stelle $x = 0$ nicht definiert, es gibt keine Schnittstelle.

Verhalten gegen unendlich

Wie verhält sich die Funktion bei unendlich hohen bzw. niedrigen x-Werten?

Es gilt:

der höchste Exponent entscheidet, bei geraden Exponenten ist das Ergebnis positiv, bei ungeraden Exponenten wird der Vorfaktor (also +/-) nicht verändert.

Extrempunkte

An Extrempunkten entspricht der Wert der ersten Ableitung null. Wir leiten ab, finden die Nullstellen der ersten Ableitung und gehen dann so vor:

Bei einem Hochpunkt ist der Wert der zweiten Ableitung an der Nullstelle der ersten Ableitung größer als null, bei Tiefpunkten ist dieser kleiner als null.

Es kann auch die Steigung kurz vor und nach dem Extrempunkt betrachtet werden:

$$+ \ \rightarrow \ - \ = Hochpunkt$$

$$- \ \rightarrow + \ = Tiefpunkt$$

Sattelpunkte

Bei Sattelpunkten gilt:

$$f´(x) = 0$$

$$f´´(x) = 0$$

$$f´´´(x) \neq 0$$

Es kann auch die Steigung kurz vor und nach der Nullstelle der 1. Ableitung betrachtet werden, gibt es keinen Vorzeichenwechsel handelt es sich um einen Sattelpunkt.

Wendepunkte

Man sucht die Nullstellen der zweiten Ableitung und setzt diese in die dritte Ableitung ein. Ist der Wert ungleich null, gibt es hier einen Wendepunkt, also ein Maximum ein dem Graphen der ersten Ableitung.

Ein Wendepunkt ist sozusagen ein ,,Schlenker” im Graphen, also ein Richtungswechsel.

Monotonieverhalten

Zuerst werden die Extremstellen berechnet.

Hochpunkt → Tiefpunkt = streng monoton fallend

Tiefpunkt → Hochpunkt = streng monoton steigend

Bei den äußeren Extremstellen gilt:

Tiefpunkt = streng monoton fallend bis zum Tiefpunkt, danach steigend

Hochpunkt = streng monoton steigend bis zum Hochpunkt, danach fallend