Kenntnisse zu bestimmten Funktionen

e-Funktion

Bei der e-Funktion ($e^{x}$) handelt es sich um eine Exponentialfunktion, welche im Gegensatz zur Potenzfunktion die Variable im Exponenten hat. Besonders an der e-Funktion ist, dass ihre Ableitung wieder die e-Funktion ist. Ihr Graph heißt Exponentialkurve und sieht folgendermaßen aus:

• es existiert kein Schnittpunkt mit der x-Achse – keine Nullstelle

• e ist die Eulersche Zahl, ist irrational und beträgt circa 2,718

Lösung der e-Funktion

Wiederholung zum Logarithmus

$$b^{x} = a$$

$$x = \log_{b}(a)$$

Der natürliche Logarithmus

$$e^{x} = z$$

$$x = ln(z)$$

ln-Funktion

Die Lösung des natürlichen Logarithmus lässt sich auch als Funktion darstellen, $f\left( x \right) = ln(x)$.

• da $e^{x}$ niemals 0 oder negativ sein kann (zumindest bei reellen Zahlen), ist der natürliche Logarithmus hier nicht definiert

Trigonometrische Funktionen

Sinus

Der Graph kann verändert werden:

$f\left( x \right) = a \cdot \sin\left( b \cdot \left( x - c \right) \right) + d$

$$a = Amplitude$$

$b = Winkelgeschwindigkeit$ (wobei die ursprüngliche Periodenlänge von 2π durch die neue Periodenlänge geteilt wird)

$$c = Verschiebung\ auf\ der\ x - Achse$$

$$d = Verschiebung\ auf\ der\ y - Achse$$

Insgesamt erinnert dies an die Scheitelpunktform einer Funktion.

Nullstellen	Größte Funktionswerte	Kleinste Funktionswerte
$x = k \cdot \pi$	$x = \frac{1}{2}\pi + k \cdot 2\pi$	$x = \frac{3}{2}\pi + k \cdot 2\pi$

Cosinus

Der Cosinus (im Bild blau) ist eine um 1/2𝛑 nach links verschobene Sinuskurve.

Nullstellen	Größte Funktionswerte	Kleinste Funktionswerte
$x = \frac{1}{2}\pi + k \cdot \pi$	$x = k \cdot 2\pi$	$x = \pi + k \cdot 2\pi$