Partielle Integration

Für verkettete Funktionen f=g×h  wird die Stammfunktion bestimmt, indem versucht wird, die Produktregel umzukehren. Es ergibt sich folgende Formel:

ab(u´(x)×v(x))dx=[u(x)×v(x)]baab(u(x)×v´(x))dx

Hierbei werden g und h u´ und v so zugeordnet, dass es nicht zu einem endlosen Vorgang (sondern einem möglichst kurzen) kommt. Die Ableitung von v sollte nicht v ergeben, nicht negativ sein und die Potenz der Variable sollte so niedrig wie möglich über 0 liegen. Teilweise können mehrere Schritte erforderlich sein.

Herleitung / Eselsbrücke

[u(x)×v(x)]ba=ab(u´(x)×v(x))dx+ab(u(x)×v´(x))dx

ab(u´(x)×v(x))dx=[u(x)×v(x)]baab(u(x)×v´(x))dx

Steht alles in der Form: [what]ba[ever]ba so wurde hiermit die Stammfunktion F=whatever gefunden.

Beispiel:

f(x)=x×sin(x)

u=sin(x)

u=cos(x)

v=x

v=1

ab(sin(x)×x)dx=[cos(x)×x]baab(cos(x))dx=[cos(x)×x]ba[sin(x)]ba

F(x)=cos(x)×x+sin(x)

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