Partielle Integration

Für verkettete Funktionen $f = g \times h\ $ wird die Stammfunktion bestimmt, indem versucht wird, die Produktregel umzukehren. Es ergibt sich folgende Formel:

$$\int_{a}^{b}{\left( u´(x) \times v(x) \right)dx = \left\lbrack u(x) \times v(x) \right\rbrack\begin{matrix} b \\ a \\ \end{matrix} - \int_{a}^{b}{\left( u\left( x \right) \times v´(x) \right)\text{dx}}}$$

Hierbei werden g und h u´ und v so zugeordnet, dass es nicht zu einem endlosen Vorgang (sondern einem möglichst kurzen) kommt. Die Ableitung von v sollte nicht v ergeben, nicht negativ sein und die Potenz der Variable sollte so niedrig wie möglich über 0 liegen. Teilweise können mehrere Schritte erforderlich sein.

Herleitung / Eselsbrücke

$$\left\lbrack u(x) \times v(x) \right\rbrack\begin{matrix} b \\ a \\ \end{matrix} = \int_{a}^{b}{\left( u´(x) \times v(x) \right)dx + \int_{a}^{b}{\left( u\left( x \right) \times v´(x) \right)\text{dx}}}$$

$$\int_{a}^{b}{\left( u´(x) \times v(x) \right)dx = \left\lbrack u(x) \times v(x) \right\rbrack\begin{matrix} b \\ a \\ \end{matrix} - \int_{a}^{b}{\left( u\left( x \right) \times v´(x) \right)\text{dx}}}$$

Steht alles in der Form: $\left\lbrack \text{what} \right\rbrack\begin{matrix} b \\ a \\ \end{matrix} - \left\lbrack \text{ever} \right\rbrack\begin{matrix} b \\ a \\ \end{matrix}$ so wurde hiermit die Stammfunktion $F = what - ever$ gefunden.

Beispiel:

$$f\left( x \right) = x \times sin(x)$$

$$u` = sin(x)$$

$$u = - cos(x)$$

$$v = x$$

$$v` = 1$$

$$\int_{a}^{b}{\left( sin(x) \times x \right)dx = \left\lbrack - cos(x) \times x \right\rbrack\begin{matrix} b \\ a \\ \end{matrix} - \int_{a}^{b}{\left( - cos(x) \right)\text{dx}}} = \left\lbrack - cos(x) \times x \right\rbrack\begin{matrix} b \\ a \\ \end{matrix} - \left\lbrack - sin(x) \right\rbrack\begin{matrix} b \\ a \\ \end{matrix}$$

$$F\left( x \right) = - \cos\left( x \right) \times x + sin(x)$$